برای یافتن مشتق تابع \( f(x) = x(x-2)(x-3)(x-4) \) در نقطهای به طول ۴، ابتدا لازم است که مشتق تابع \( f(x) \) را پیدا کنیم.
تابع داده شده یک تابع حاصلضرب چندین جمله است، بنابراین برای مشتقگیری از قاعده زنجیرهای استفاده میکنیم. به سادگی میتوانیم از روش مشتقگیری برای هر یک از جملات داخل حاصلضرب بهره بگیریم، که به کمک قاعده لایبنیتس یا همان قانون مشتقگیری از حاصلضرب انجام میپذیرد.
برای شروع، فرض کنیم \( u(x) = x \), \( v(x) = (x-2)(x-3)(x-4) \).
حالا مشتق حاصلضرب به شکل زیر است:
\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]
۱. مشتق \( u(x) \) نسبت به \( x \) برابر است با:
\[ u'(x) = 1 \]
۲. اکنون لازم است مشتق \( v(x) = (x-2)(x-3)(x-4) \) را پیدا کنیم.
مشتق \( v(x) \) به کمک قاعده لایبنیتس به صورت زیر است:
- ابتدا \( v(x) \) را گسترش میدهیم:
- \( (x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6 \)
- حال \( (x^2 - 5x + 6)(x-4) = x^3 - 4x^2 - 5x^2 + 20x + 6x - 24 = x^3 - 9x^2 + 26x - 24 \)
- سپس مشتق میگیریم:
\[ v'(x) = 3x^2 - 18x + 26 \]
۳. اکنون \( f'(x) \) به صورت زیر است:
\[ f'(x) = 1 \cdot ((x-2)(x-3)(x-4)) + x \cdot (3x^2 - 18x + 26) \]
محاسبه مقدار \( f'(4) \):
۱. وقتی \( x = 4 \) قرار میگیرد:
\[ (x-2)(x-3)(x-4) = (4-2)(4-3)(4-4) = (2)(1)(0) = 0 \]
۲. بنابراین:
\[ f'(4) = 0 + 4 \cdot ((3(4)^2 - 18 \times 4 + 26)) = 4 \cdot (48 - 72 + 26) = 4 \cdot 2 = 8 \]
بنابراین، مشتق تابع در نقطهای به طول ۴ برابر است با ۸.
